Question

f（x）=-

1

2

x²+bln（x+2）在（-1，+∞）上单调递减，则b的取值范围是（　　）

A．（-∞，-1）

B．（-1，+∞）

C．（-∞，-1]

D．[-1，+∞）

Answer 1

由x+2＞0，得x＞-2，所以函数f（x）=-

1

2

x²+bln（x+2）的定义域为（-2，+∞），
再由f（x）=-

1

2

x²+bln（x+2），得：f′(x)=-x+

b

x+2

=-

x2+2x-b

x+2

，
要使函数f（x）在其定义域内是单调减函数，则f′（x）在（-1，+∞）上恒小于等于0，
因为x+2＞0，
令g（x）=x²+2x-b，则g（x）在（-1，+∞）上恒大于等于0，
函数g（x）开口向上，且对称轴为x=-1，
所以只有当△=2²+4×b≤0，即b≤-1时，g（x）≥0恒成立．
所以，使函数f（x）在其定义域内是单调减函数的b的取值范围是（-∞，-1]．
故答案为：C