Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-alnx（a＞0）
（1）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义求切线方程．（2）利用导数求出函数的极大值和极小值，利用f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．

解答：解：（1）a=2，f（x）=

1

2

x²-2lnx，f'（x）=x-

2

x

，f'（1）=-1，f（1）=

1

2

，
f（x）在（1，f（1））处的切线方程为2x+2y-3=0．
（2）由f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

，
由a＞0及定义域为（0，+∞），令f'（x）=0得x=

a

，
①若

a

≤1，即0＜a≤1在（1，e）上，f'（x）＞0，f（x）在（1，e）上单调递增，
因此，f（x）在区间[1，e]的最小值为f（1）=

1

2

．
②若1＜

a

＜e，即1＜a＜e²在（1，

a

）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减；在（

a

，e）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增，因此f（x）在区间[1，e]上的最小值为f(

a

)=

1

2

a(1-lna)．
③若

a

≥e，即a≥e²在（1，e）上，f'（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，
因此f（x）在区间[1，e]上的最小值为f(e)=

1

2

e2-a．
综上，当0＜a≤1时，fmin?(x)=

1

2

；当1＜a＜e²时，fmin(x)=

1

2

a(1-lna)；
当a≥e²时，fmin?(x)=

1

2

e2-a，
可知当0＜a≤1或a≥e²时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．
当1＜a＜e²时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则
∴

1 2 a(1-ln?a)＜0 f(1)= 1 2 ＞0 f(e)= 1 2 e2-a＞0

，即

a＞e a＜ 1 2 e2

，此时，e＜a＜

1

2

e2．
所以，a的取值范围为（e，

1

2

e2）．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的性质，考查学生的运算能力．综合性较强．