Question

如图，在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2 CD＝2，M是线段AB的中点．

（1）求证：C1M∥平面A1ADD1 ；

（2）若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．

 

Answer 1

（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）利用C1M平行于平面A1ADD1 内的一条直线可证线面平行；（2）要求二面角，可以利用几何法，作出二面角的平面角，利用解三角形求出角的大小，也可以建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求夹角.

试题解析：（1）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，

且AB＝2CD，所以AB∥DC，

又M是AB的中点，

所以CD∥MA且CD＝MA.

连接AD1.因为在四棱柱ABCD ? A1B1C1D1中，

CD∥C1D1，CD＝C1D1，

所以C1D1∥MA，C1D1＝MA，

所以四边形AMC1D1为平行四边形，

因此，C1M∥D1A.

又C1M?平面A1ADD1，D1A?平面A1ADD1，

所以C1M∥平面A1ADD1.

（2）方法一：连接AC，MC.

由（1）知，CD∥AM且CD＝AM，

所以四边形AMCD为平行四边形，

所以BC＝AD＝MC.

由题意∠ABC＝∠DAB＝60°，

所以△MBC为正三角形，

因此AB＝2BC＝2，CA＝，

因此CA⊥CB.

设C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C ? xyz.

所以A（，0，0），B（0，1，0），D1（0，0，）．

因此M，

所以，.

设平面C1D1M的一个法向量n＝（x，y，z），

由，得

可得平面C1D1M的一个法向量n＝（1，，1）．

又＝（0，0，）为平面ABCD的一个法向量．

因此cos〈，n〉＝，

所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为.

方法二：由（1）知，平面D1C1M∩平面ABCD＝AB，点过C向AB引垂线交AB于点N，连接D1N.

由CD1⊥平面ABCD，可得D1N⊥AB，

因此∠D1NC为二面角C1 ? AB ? C的平面角．

在Rt△BNC中，BC＝1，∠NBC＝60°，

可得CN＝，

所以ND1＝.

在Rt△D1CN中，cos∠D1NC＝，

所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为.

 

考点：空间线面关系，二面角，空间直角坐标系