Question

1．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过圆C：x²+y²=r²（0＜r＜b）上的任意一点作圆C的切线l与椭圆E交于A，B两点，都有OA⊥OB（O为坐标原点），求r的值．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和短轴的概念，结合a，b，c的关系，解得a=2，b=1，可得椭圆方程；
（2）讨论切线的斜率不存在和为0，求得A，B的坐标，由垂直的条件可得r；证得圆x²+y²=$\frac{4}{5}$上任一点（m，n）的切线与椭圆的交点A，B，都有OA⊥OB．设出切线的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件，化简整理，即可得到半径r的值．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2b=2，即b=1，
a²-c²=b²=1，解得c=$\sqrt{3}$，a=2，
即有椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）当切线l的斜率不存在，即l：x=r时，
代入椭圆方程可得A（r，$\sqrt{1-\frac{{r}^{2}}{4}}$），B（（r，-$\sqrt{1-\frac{{r}^{2}}{4}}$），
由OA⊥OB，可得r²-（1-$\frac{{r}^{2}}{4}$）=0，解得r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
当当切线l的斜率为0，即l：y=r时，
代入椭圆方程可得A（2$\sqrt{1-{r}^{2}}$，r），B（-2$\sqrt{1-{r}^{2}}$，r），
由OA⊥OB，可得r²-4（1-r²）=0，解得r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
只要证得圆x²+y²=$\frac{4}{5}$上任一点（m，n）的切线与椭圆的交点A，B，
都有OA⊥OB．
由两直线垂直的条件可得切线的方程为mx+ny=$\frac{4}{5}$（nm≠0），
联立椭圆方程，消去y，可得（n²+4m²）x²-$\frac{32m}{5}$x+$\frac{64}{25}$-4n²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=$\frac{32m}{5（{n}^{2}+4{m}^{2}）}$，x₁x₂=$\frac{64-100{n}^{2}}{25（{n}^{2}+4{m}^{2}）}$，
即有y₁y₂=$\frac{1}{{n}^{2}}$（$\frac{4}{5}$-mx₁）（$\frac{4}{5}$-mx₂）=$\frac{1}{{n}^{2}}$（$\frac{16}{25}$+m²x₁x₂-$\frac{4}{5}$m（x₁+x₂））
=$\frac{1}{{n}^{2}}$[$\frac{16}{25}$+m²•$\frac{64-100{n}^{2}}{25（{n}^{2}+4{m}^{2}）}$-$\frac{4}{5}$m•$\frac{32m}{5（{n}^{2}+4{m}^{2}）}$]=$\frac{16-100{m}^{2}}{25（{n}^{2}+4{m}^{2}）}$，
则x₁x₂+y₁y₂=$\frac{64-100{n}^{2}}{25（{n}^{2}+4{m}^{2}）}$+$\frac{16-100{m}^{2}}{25（{n}^{2}+4{m}^{2}）}$=$\frac{80-100（{m}^{2}+{n}^{2}）}{25（{n}^{2}+4{m}^{2}）}$
=$\frac{80-100×\frac{4}{5}}{25（{n}^{2}+4{m}^{2}）}$=0，即OA⊥OB．
故r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线和圆相切，以及直线和椭圆联立运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查化解在合理的运算能力，属于中档题．