Question

9．已知函数f（x）=|x-a|+m|x+a|．
（Ⅰ）当m=a=-1时，求不等式f（x）≥x的解集；
（Ⅱ）不等式f（x）≥2（0＜m＜1）恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤-3或a≥3}，求实数m的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将m=a=-1代入（x），通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质得到2m|a|≥2，解出a，得到关于m的方程，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）m=a=-1时，|x+1|-|x-1|≥x，
x＜-1时，-（x+1）+（x-1）≥x，解得：x≤-2，
-1≤x≤1时，（x+1）+（x-1）≥x，解得：0≤x＜1，
x≥1时，（x+1）-（x-1）≥x，解得：1≤x≤2，
综上，不等式的解集是{x|x≤-2或0≤x≤2}；
（Ⅱ）f（x）=|x-a|+m|x+a|=m（|x-a|+|x+a|）+（1-m）|x-a|≥2m|a|+（1-m）|x-a|≥2m|a|≥2，
解得：a≤-$\frac{1}{m}$或a≥$\frac{1}{m}$，
∵数a的取值范围是{a|a≤-3或a≥3}，
故$\frac{1}{m}$=3，解得：m=$\frac{1}{3}$，
∴实数m的集合是{m|m=$\frac{1}{3}$}．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．