Question

（2012•淄博二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

1

2

，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）圆x²+y²=1的一条切线l与椭圆C相交于A，B两点，问是否存在上述直线l使

OA

•

OB

=0成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e=

1

2

，得a²=4c²，再由c²=a²-b²，解得a=

2 3

3

b，利用连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4

3

，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）假设存在直线l满足条件
①当直线l的斜率不存在时，则方程为x=±1，可得

OA

•

OB

=0不成立；
②斜率存在时，假设方程为y=kx+m，由直线与圆相切可得m²=1+k²，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积运算，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由e=

1

2

，得a²=4c²，再由c²=a²-b²，解得a=

2 3

3

b①．
由连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4

3

，可知2ab=4

3

②．
①②可得a=2，b=

3

．
所以椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）假设存在直线l满足条件
①当直线l的斜率不存在时，则方程为x=±1
当方程为x=1时，直线l与椭圆的交点为A（1，

3

2

），B（1，-

3

2

），则

OA

•

OB

=1-

9

4

=-

5

4

≠0
同理方程为x=1时，

OA

•

OB

=0也不成立；
②斜率存在时，假设方程为y=kx+m，由直线与圆相切可得m²=1+k²，
直线方程代入椭圆方程，消去y，可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，x₁x₂=

4m2-12

3+4k2

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

3m2-12k2

3+4k2

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

4m2-12

3+4k2

+

3m2-12k2

3+4k2

=

-5(k2+1)

3+4k2

＜0
综上所述，直线l不存在．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积运算，属于中档题．