题目内容

5．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（0，-2）和C（0，2），顶点B在椭圆$\frac{y^2}{12}$+$\frac{x^2}{8}$=1上，则$\frac{sinA+sinC}{sinB}$的值是$\sqrt{6}$．

分析 由已知利用椭圆的定义可得|AB|+|BC|=2a，AC=2c．在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$\frac{|BC|+|AB|}{|AC|}$，即可得出．

解答 解：如图所示，
由椭圆$\frac{y^2}{12}$+$\frac{x^2}{8}$=1，可得：a=$2\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=2．
∴△ABC的顶点A（0，-2）和C（0，2），为椭圆的两个焦点．
∴|AB|+|BC|=2a=4$\sqrt{6}$，AC=2c=4．
在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$\frac{|BC|+|AB|}{|AC|}$=$\frac{2a}{2c}$=$\frac{4\sqrt{6}}{4}$=$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了椭圆的定义及其标准方程、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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