Question

矩形ABCD中，AB=6，BC=2

3

，沿对角线BD将三角形ABD向上折起，使点A移至点P，使点P在平面BCD上的射影O在DC上，（如图）．
（Ⅰ）求证：PD⊥PC；
（Ⅱ）求直线CD与平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用传统方法，要证线线垂直，可先证线面垂直，本题只需要证明DP⊥平面PCB 即可，
（Ⅱ）解法一：先作二面角的平面角，作CF⊥PB，F为垂足，从而可知∠CDF是CD与平面BDP所成的角，故可求；
解法二：以平行于BC的直线为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，从而转化为向量的夹角求解即可．

解答：证明：（Ⅰ）∵PO⊥平面BCD，∴PO⊥BC
∴平面PCD⊥平面BCD
又∵BC⊥CD
∴BC⊥平面PCD∴BC⊥PD
又∵BP⊥PD∴DP⊥平面PCB
∴DP⊥CP                 …（7分）
（Ⅱ）解法一：
作CF⊥PB，F为垂足，∴DP⊥平面PCB∴平面PBD⊥平面BCP
∵CF⊥平面PDB，∴∠CDF是CD与平面BDP所成的角，
在Rt△PBC中，∴∠BCP=90°，BC=2

3

，BP=6，∴PC=2

6

，∴CF•BP=BC•CP，∴CF=2

2

，
在Rt△CDF中，sin∠CDF=

CF

CD

=

2

3

∴CD与平面BDP所成的角的正弦值为

2

3

…（14分）
解法二：
由题意知 PD=2

3

DC=6DP⊥CP
∴PC=2

6

PO=

PC•PD

DC

=2

2

DO=2OC=4
如图，以平行于BC的直线为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），P(0，0，2

2

)，D（0，-2，0），C（0，4，0），B(2

3

，4，0)
∴

CD

=(0，-6，0)，

PD

=(0，-2，-2

2

)

BD

=(-2

3

，6，0)
设平面PBD的法向量为

n

=(x，y，z)，
则 

PD

•

n

=-2y-2

2

z=0且

BD

•

n

=-2

3

x+6y=0
令y=1，则x=

3

，z=-

1

2

，∴

n

=(

3

，1，-

2

2

)
记CD与平面BDP所成的角为θ则  sinθ=|cos＜

CD

，

n

＞|=

|CD • n |

| CD || n |

=

6

6× 3 2 2

=

2

3

∴CD与平面BDP所成的角的正弦值为

2

3

…（14分）

点评：本题以平面图形的翻折为素材，考查线线垂直，考查线面角，一例两法，应注意细细体会．