Question

如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的值等于

 

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Answer 1

分析：利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质即可求出．

解答：解：连接AQ，取AD的中点O，连接OQ．
∵PA⊥平面ABCD，PQ⊥DQ，
∴由三垂线定理的逆定理可得DQ⊥AQ．
∴点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，
又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）
∴OQ⊥BC，
∵AD∥BC，∴OQ=AB=1，∴BC=AD=2，
即a=2．
故答案为：2．

点评：本题体现转化的数学思想，转化为BC与以线段AD的中点O为圆心的圆相切是关键，属于中档题．