Question

【题目】已知函数，其中，为参数，且.

（Ⅰ）当时，判断函数是否有极值；

（Ⅱ）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；

（Ⅲ）若对（Ⅱ）中所求的取值范围内的任意函数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）无极值；（Ⅱ）；(III) .

【解析】

(I)当时,,在内是增函数，无极值；(II)令，得,可判断函数在处取得极小值，解不等式即可得结果；(III)由（II）知，函数在区间与内都是增函数,则须满足不等式组或,进而可得结果.

(I)当时,,则在内是增函数，

故无极值.

(II),令，得,

由 及（I）可知无极值，

所以只需考虑的情况，

当变化时，的符号及的变化情况如下表:

		0
	+	0	-	0	+
	递增	极大值	递减	极小值	递增

因此，函数在处取得极小值且，

要使，必有，

可得，.

(III)由（II）知，函数在区间与内都是增函数,

由题设，函数在内是增函数，则须满足不等式组,

或,

由(II)，参数时， ，

要使不等式关于参数恒成立，必有，

综上，解得或，

的取值范围是.