Question

某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度逃窜．
（Ⅰ）若巡逻艇计划在正东方向进行拦截，问巡逻艇应行驶到什么位置进行设卡？
（Ⅱ）若巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追击，问经多少时间后巡逻艇恰追赶上该走私船？

Answer 1

分析：（Ⅰ）巡逻艇计划在正东方向进行拦截，设出距离，利用正弦定理直接求解即可．
（Ⅱ）若巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追击，问经多少时间后巡逻艇恰追赶上该走私船？

解答：解：（Ⅰ）由题意巡逻艇计划在正东方向进行拦截，设距离为h，
巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向逃窜．
AC=9，∠ACB=75°+45°=120°
由正弦定理

AC

sin(180°-120°-45°)

= 

h

sin120°

，
即h=

9 3

2sin(45°-30°)

=

9 3

2× 6 - 2 4

=

9

2

(3

2

+

6

)．
巡逻艇计划在正东

9

2

(3

2

+

6

)海里进行拦截．
（Ⅱ）如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，
则CB=10x，AB=14x，AC=9，∠ACB=75°+45°=120°
∴（14x） ²=9²+（10x） ²-2×9×10xcos120°
∴化简得32x²-30x-27=0，即x=

3

2

，或x=-

9

16

（舍去）；

BC

sin∠CAB

=

AB

sin∠ACB

，sin∠CAB=

BC•sin120°

AB

=

15× 3 2

14× 3 2

=

5 3

14

，
∠CAB≈38°13'．
答：巡逻艇应该沿北偏东83°13'方向去追，经过1.5小时才追赶上该走私船．

点评：本题考查正弦定理的应用，考查解三角形在实际问题中的应用以及计算能力．