Question

已知z=1+i．
（1）设ω=z²+3

.

z

-4，求ω的三角形式；
（2）如果

z2+az+b

z2-z+1

=1-i，求实数a，b的值．

Answer 1

分析：（1）把复数的具体形式代入所给的z²+3

.

z

-4，根据乘方和共轭复数，算出ω的值，提出复数的模长，把代数形式变化为三角形式．
（2）先进行复数的乘除运算，把具体的复数的值代入，整理成最简形式，得到复数相等的条件，使得复数的实部和虚部分别相等，得到关于a和b的方程组，解方程组即可．

解答：解：（1）由z=1+i，有
ω=z²+3

.

z

-4
=（1+i）²+3

.

(1+i)

-4
=2i+3（1-i）-4=-1-i，
ω的三角形式是

2

(cos

5

4

π+isin

5

4

π)．
（2）由z=1+i，有

z2+az+b

z2-z+1

=

(1+i)2+a(1+i)+b

(1+i)2-(1+i)+1

=

(a+b)+(a+2)i

i

=（a+2）-（a+b）i
由题设条件知（a+2）-（a+b）i=1-i．
根据复数相等的定义，得

a+2=1 -(a+b)=-1

解得

a=-1 b=2.

点评：本小题考查共轭复数、复数的三角形式，复数的混合运算等基础知识及运算能力．是一个综合题，解题的关键是整理过程千万不要出错．