Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A、B、C所对的边长，a，b，c成等比数列．
（1）求B的取值范围；
（2）若x=B，关于x的不等式cos2x-4sin（）sin（）+m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等比数列的性质，结合余弦定理及基本不等式，即可求B的取值范围；
（2）关于x的不等式cos2x-4sin（）sin（）+m＞0恒成立，等价于关于x的不等式cos2x-4sin（）sin（）＞-m恒成立，求出左边的最小值，即可求得m的取值范围．
解答：解：（1）∵a、b、c成等比数列，∴b²=ac（1分）
∴cosB==（3分）
∵a²+c²≥2ac，∴cosB=≥，等号当且仅当a=c时取得，
∴≤cosB＜1，∴．（7分）
（2）关于x的不等式cos2x-4sin（）sin（）+m＞0恒成立，等价于关于x的不等式cos2x-4sin（）sin（）＞-m恒成立，
cos2x-4sin（）sin（）=cos2x-4sin（）cos（）
=2cosx²-2cosx-1=2（cosx-）²-（11分）
∵x=B，∴≤cosx＜1
∴2（cosx-）²-≥-
由题意有：-m＜-，即m＞（14分）
（说明：这样分离变量m＞2cosx-cos2x=-2cos²x+2cosx+1参照评分）
点评：本题考查等比数列的性质，考查余弦定理、基本不等式，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确求最值是关键．