题目内容
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+
asinC-b-c=0
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为
，证明△ABC是正三角形．
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（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为
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分析：（1）根据acosC+
asinC-b-c=0，由正弦定理可得sinAcosC+
sinAsinC=sinB+sinC，化简可求A；
（2）利用三角形的面积公式及余弦定理，即可证得结论．
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（2）利用三角形的面积公式及余弦定理，即可证得结论．
解答：（1）解：∵acosC+
asinC-b-c=0
∴由正弦定理可得sinAcosC+
sinAsinC=sinB+sinC
∴sinAcosC+
sinAsinC=sin(A+C)+sinC
∴
sinA-cosA=1
∴sin（A-30°）=
∴A-30°=30°，∴A=60°；
（2）证明：∵△ABC的面积为
，
∴
bcsinA=
∴bc=4
∵a=2
∴由余弦定理可得：4=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-12
∴b+c=4
∵bc=4
∴b=c=2
∴a=b=c
∴△ABC是正三角形．
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∴由正弦定理可得sinAcosC+
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∴sinAcosC+
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∴
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∴sin（A-30°）=
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∴A-30°=30°，∴A=60°；
（2）证明：∵△ABC的面积为
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∴bc=4
∵a=2
∴由余弦定理可得：4=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-12
∴b+c=4
∵bc=4
∴b=c=2
∴a=b=c
∴△ABC是正三角形．
点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
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