题目内容
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+
asinC-b-c=0．
（1）求A；
（2）若△ABC的面积S=5
，b=5，求sinBsinC的值．
| 3 |
（1）求A；
（2）若△ABC的面积S=5
| 3 |
分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后求出sin（A-
）的值，即可确定出A的度数；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，将S以及sinA的值代入求出bc的值，再由b的值求出c的值，所求式子利用正弦定理化简，将各自的值代入计算即可求出值．
| π |
| 6 |
（2）利用三角形面积公式列出关系式，将S以及sinA的值代入求出bc的值，再由b的值求出c的值，所求式子利用正弦定理化简，将各自的值代入计算即可求出值．
解答：解：（1）由acosC+
asinC-b-c=0及正弦定理得：sinAcosC+
sinAsinC-sinB-sinC=0，
∵B=π-A-C，
即sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC-sinB=-cosAsinC，
∴
sinAsinC-cosAsinC-sinC=0，
∵sinC≠0，
∴
sinA-cosA=2（
sinA-
cosA）=2sin（A-
）=1，
即sin（A-
）=
，
又0＜A＜π，∴A=
；
（2）由S=
bcsinA=
bc•
=5
，得bc=20，
又b=5，∴c=4，
由余弦定理得a2=b2+c2=2bccosA=25+16-20=21，
∴a=
，
由正弦定理
=
=
得：sinB=
，sinC=
，
则sinBsinC=
•
=
sin2A=
×
=
．
| 3 |
| 3 |
∵B=π-A-C，
即sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC-sinB=-cosAsinC，
∴
| 3 |
∵sinC≠0，
∴
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
即sin（A-
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
又0＜A＜π，∴A=
| π |
| 3 |
（2）由S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
又b=5，∴c=4，
由余弦定理得a2=b2+c2=2bccosA=25+16-20=21，
∴a=
| 21 |
由正弦定理
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
| bsinA |
| a |
| csinA |
| a |
则sinBsinC=
| bsinA |
| a |
| csinA |
| a |
| bc |
| a2 |
| 20 |
| 21 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 7 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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