Question

已知函数f（x）=

2x

x+2

，数列a_n满足：a₁=

4

3

，a_n+1=f（a_n）．
（1）求证数列{

1

an

}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求证：S_n＜

8

3

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）直接利用a_n+1=f（a_n）得到a_n+1=

2an

an+2

，再对其取倒数整理即可证数列{

1

an

}是等差数列；进而求出数列{a_n}的通项公式；
（2）利用（1）的结论以及所问问题的形式，直接利用裂项相消求和法即可求S_n．

解答： 证明：（1）由题意可得 a_n+1=

2an

an+2

，
∴

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
∴数列{

1

an

}为等差数列，
∵a₁=

4

3

，
∴

1

a1

=

3

4

，
∴

1

an

=

3

4

+

n-1

2

=

2n+1

4

，
∴a_n=

4

2n+1

；
（2）a_na_n+1=8（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=8（

1

3

-

1

5

…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）=8（

1

3

-

1

2n+3

）＜

8

3

．

点评：本小题主要考查等差数列的应用、数列的求和、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．