题目内容
18．过双曲线x2-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x-4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2-|PN|2的最小值为13．分析 求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1的左右焦点为F1（-4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．
解答 
解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（-4，0），半径为r1=2；
圆C2：（x-4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，
设双曲线x2-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1的左右焦点为F1（-4，0），F2（4，0），
连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得
|PM|2-|PN|2=（|PF1|2-r12）-（|PF2|2-r22）
=（|PF1|2-4）-（|PF2|2-1）
═|PF1|2-|PF2|2-3=（|PF1|-|PF2|）（|PF1|+|PF2|）-3
=2a（|PF1|+|PF2|-3=2（|PF1|+|PF2|）-3≥2•2c-3=2•8-3=13．
当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．
故答案为：13．
点评 本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．
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