题目内容
20．
如图，在平面直角坐标系中，方程为x2+y2+DX+Ey+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．（1）若四边形ABCD的面积为40，对角线AC的长为8，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=0$，且∠ADC为锐角，求圆的方程，并求出B，D的坐标；
（2）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH⊥AB，且垂足为H，试用平面解析几何的研究方法判断点O、G、H是否共线，并说明理由．
分析 （1）由题意知对角线互相垂直的四边形ABCD面积$S=\frac{{|{AC}|•|{BD}|}}{2}$，连接MA，得M（0，3），由此能求出结果．
（2）设四边形四个顶点的坐标分别为A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（d，0）．则点G的坐标为$（{\frac{c}{2}，\frac{d}{2}}）$，使G、O、H共线，只需证$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OG}=0$即可，由此能证明G、O、H必定三点共线．
解答 解：（1）由题意知对角线互相垂直的四边形ABCD面积$S=\frac{{|{AC}|•|{BD}|}}{2}$，
∵S=40，AC=8，∴BD=10．…（2分）
又∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=0$，∴∠A为直角，∵四边形是圆M的内接四边形，∴BD=2r=10，r=5，
连接MA，解得MO=3，∴M（0，3），
∴圆M的方程为x2+（y-3）2=25，…（6分）
令x=0，y=8或y=-2，∴B（0，8），D（0，-2）…（8分）
证明：（2）设四边形四个顶点的坐标分别为A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（d，0）．
则点G的坐标为$（{\frac{c}{2}，\frac{d}{2}}）$，即$\overrightarrow{OG}=（{\frac{c}{2}，\frac{d}{2}}）$…（12分）
又$\overrightarrow{AB}=（{-a，b}）$，且AB⊥OH，故使G、O、H共线，只需证$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OG}=0$即可
而$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OG}=\frac{bd-ac}{2}$，且对于圆M的一般方程x2+y2+DX+Ey+F=0，
当y=0时，可得x2+DX+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，
于是有xAxC=ac=F．
同理，当x=0时，可得y2+Ey+F=0，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标，
于是有yByD=bd=F，所以，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OG}=\frac{bd-ac}{2}=0$，即AB⊥OG，
故G、O、H必定三点共线 …（16分）
点评 本题考查方程的求法，考查三点共线的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．
| A． | -$\frac{11}{2}$ | B． | $\frac{7}{2}$ | C． | 7 | D． | -5 |
| A． | p真q假 | B． | p∧q为真 | C． | p，q均为假 | D． | p假q为真 |
| A． | 图象关于原点对称，在R上为增函数 | B． | 图象关于y轴对称，在R上为增函数 | ||
| C． | 图象关于原点对称，在R上为减函数 | D． | 图象关于y轴对称，在R上为减函数 |