Question

（本题满分16分）

已知函数,.

（Ⅰ）若函数在时取得极值，求的值；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）当a<-1时，函数f(x)的单调减区间为，

函数的单调增区间为.

【解析】解：（Ⅰ）

.            ……3分

依题意得, 经检验符合题意.      ……6分

（Ⅱ），设，

（1）当a=0时，f(x)=-e，f(x)在R上为单调减函数.  ……8分

（2）当a<0时，方程=0的判别式为，

令, 解得a=0（舍去）或a=-1.

1°当a=-1时，，

即，

且f’(x)在x=-1两侧同号，仅在x=-1时等于，

则f(x)在R上为单调减函数.                ……10分

2°当-1<a<0时，，则恒成立，

即f’(x)<0恒成立，则f(x)在R上为单调减函数.   ……11分

3°a<-1时，，令g(x)=0，

方程有两个不相等的实数根

，

作差可知，

则当时，g(x)<0，f’(x)<0，f(x)在上为单调减函数；

当时，g(x)>0，f’(x)>0，

F(x)在上为单调增函数；

当时，g(x)<0，f’(x)<0，f(x)在上为单调减函数.  ……15分

综上所述，当时，函数f(x)的单调减区间为R；当a<-1时，函数f(x)的单调减区间为，，函数的单调增区间为.       ……16分

思路分析：第一问利用依题意得, 经检验符合题意.

第二问中，，设，

（1）当a=0时，f(x)=-e，f(x)在R上为单调减函数.  ……8分

（2）当a<0时，方程=0的判别式为，

令, 解得a=0（舍去）或a=-1.

构造函数讨论单调性。