Question

2．正项等差数列{a_n}满足a₁=4，且a₂，a₃+4，2a₆-4成等比数列，a_n前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：$\frac{2}{{S}_{1}+2}$+$\frac{2}{{S}_{2}+2}$+…+$\frac{2}{{S}_{n}+2}$＜1．

Answer 1

分析 （1）设正项等差数列{a_n}的公差为d，由等比数列的性质，运用等差数列的通项公式，列方程解得d=2，即可得到所求通项；
（2）运用等差数列的求和公式，以及$\frac{2}{{S}_{n}+2}$=$\frac{2}{{n}^{2}+3n+2}$=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$=2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）设正项等差数列{a_n}的公差为d，
由a₁=4，且a₂，a₃+4，2a₆-4成等比数列，
可得（a₃+4）²=a₂（2a₆-4），
即为（8+2d）²=（4+d）（4+10d），
解得d=2（-4舍去），
即有a_n=4+2（n-1）=2n+2；
（2）证明：前n项和为S_n=$\frac{1}{2}$n（2n+6）=n（n+3），
即有$\frac{2}{{S}_{n}+2}$=$\frac{2}{{n}^{2}+3n+2}$=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$
=2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
则$\frac{2}{{S}_{1}+2}$+$\frac{2}{{S}_{2}+2}$+…+$\frac{2}{{S}_{n}+2}$=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）=1-$\frac{2}{n+2}$＜1．
故$\frac{2}{{S}_{1}+2}$+$\frac{2}{{S}_{2}+2}$+…+$\frac{2}{{S}_{n}+2}$＜1．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用以及等比数列的性质，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．