Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1-{a}^{x}}{1+{a}^{x}}$，（a＞0，a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）a=2时，函数g（x）和f（x）的图象关于直线x=1对称，求函数g（x）的解析式；进一步研究函数G（x）=|g（x）|的图象有什么性质．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义，可得结论；
（2）设g（x）的图象上的点为（x．y），关于直线x=1对称的点的坐标为（2-x，y），代入，可得函数g（x）的解析式，从而可以研究函数G（x）=|g（x）|的图象有什么性质．

解答 解：（1）f（-x）=$\frac{1-{a}^{-x}}{1+{a}^{-x}}$=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数；
（2）设g（x）的图象上的点为（x．y），关于直线x=1对称的点的坐标为（2-x，y），
∴y=$\frac{1-{2}^{2-x}}{1+{2}^{2-x}}$，即g（x）=$\frac{1-{2}^{2-x}}{1+{2}^{2-x}}$=-1+$\frac{1}{\frac{1}{2}+{2}^{-x+1}}$，
∴函数G（x）=|g（x）|的图象关于直线x=1对称，在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．

点评 本题考查函数的奇偶性、对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．