Question

13．已知函数f（x）=ax+$\frac{b}{x}$，且f（1）=2，f（2）=$\frac{5}{2}$．
（1）求a和b的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立方程关系即可求a和b的值；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（3）利用函数单调性的定义即可判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．

解答 解：（1）由函数f（x）=ax+$\frac{b}{x}$，且f（1）=2，f（2）=$\frac{5}{2}$．，
知$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{2a+\frac{b}{2}=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得a=1，b=1．…（2分）
（2）由（1）知函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$，故函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．（3分）
又f（-x）=-x-$\frac{1}{x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x）．
所以，函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$为奇函数．…（4分）
（3）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$  （7分）
当0＜x₁＜x₂＜1时，x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，故（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
所以，f（x₁）＞f（x₂），从而函数f（x）在区间（0，1）上为减函数；…（9分）
当1≤x₁＜x₂时，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，故（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
所以，f（x₁）＜f（x₂），从而函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数；…（11分）
综上可知，函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$在区间（0，1）上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．