Question

10．过点M（0，3）作直线l与⊙C：（x+3）²+（y-3）²=16相交于A、B两点．
（1）求当|AB|的长度取最大值时直线l的方程；
（2）是否存在这样的直线l，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{17}{5}$？若存在，求出直线l的横截距；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当|AB|的长度取最大值时直线l过圆心，直线l的方程为：y=3．
（2）依题意直线l得斜率存在，设直线方程为：y=kx+3，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{（x+3）^{2}+（y-3）^{2}=16}\end{array}\right.$得（1+k²）x²+6x-7=0，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-6}{1+{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-7}{1+{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=-$\frac{17}{5}$求解

解答 解：（1）当|AB|的长度取最大值时直线l过圆心（-3，3），其斜率为k=0，此时直线l的方程为：y=3．
（2）依题意直线l得斜率存在，设直线方程为：y=kx+3．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{（x+3）^{2}+（y-3）^{2}=16}\end{array}\right.$得（1+k²）x²+6x-7=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-6}{1+{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-7}{1+{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+3）（kx₂+3）=k²x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=-7+$\frac{-6}{1+{k}^{2}}×3k+9$=-$\frac{17}{5}$，
解得k=$\frac{1}{3}$或3，
∴直线方程为：y=3x+3或令y=$\frac{1}{3}$x+3，
∴存在这样的直线l，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{17}{5}$，直线l的横截距为-1或-9．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．