Question

【题目】已知函数，.

（1）若在上为单调递增，求实数的取值范围；

（2）若，且，求证：对定义域内的任意实数，不等式恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据函数单调递增可得，将问题转化为在上恒成立；利用导数求解出在的最小值，从而得到的取值范围；（2）将问题转化为证明当时，，在和时分别得到需恒成立的不等式；令，通过导数研究单调性，结合可证得结论.

（1）由已知的定义域为

所以

在上单调递增

对任意，都有

即

令，

当时，；当时，

函数在上单调递增，在上单调递减

因为时，总有

（2）当时，

对定义域内的任意正数，不等式恒成立，即时，

因为当时，；当时，，

所以只须证：当时，；当时，

令

令，则

当时，；当时，

所以是的极值点，从而有极小值，即最小值

所以恒成立

在上单调递增，又因为

所以当时，，即恒成立；

当时，，即恒成立

所以，对定义域内的任意实数，不等式恒成立