题目内容
【题目】已知
是函数
的极值点.
（Ⅰ）求实数
的值；
（Ⅱ）求证：函数
存在唯一的极小值点
，且
.
（参考数据：
）
【答案】(Ⅰ) 
(Ⅱ)见证明
【解析】
(Ⅰ)根据
求得
；通过导数验证函数的单调性，可知时极值点为
，满足题意；(Ⅱ)根据(Ⅰ)可知极小值点位于
，此时
的零点
，且此时
为极小值点，代入
得到关于的二次函数，求解二次函数值域即可证得结论.
(Ⅰ)因为
，且是极值点
所以
，所以
此时
设
，则
则当
时，
，为减函数
又
当
时，
，则为增函数
当
时，
，则为减函数
此时为的极大值点，符合题意
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，时，不存在极小值点
当
时，
，为增函数，且
，
所以存在
结合(Ⅰ)可知当
时，，为减函数；
时，，为增函数，所以函数存在唯一的极小值点
又
，所以
且满足
.
所以
由二次函数图象可知：
又
，
【题目】2018年，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与此同时，移动阅读方兴未艾，从侧面反应了人们对精神富足的一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂愉悦后，部分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加．
某读书APP抽样调查了非一线城市M和一线城市N各100名用户的日使用时长（单位：分钟），绘制成频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活跃用户”．
（1）请填写以下
列联表，并判断是否有99．5%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关？
活跃用户 | 不活跃用户 | 合计 | |
城市M | |||
城市N | |||
合计 |
（2）以频率估计概率，从城市M中任选2名用户，从城市N中任选1名用户，设这3名用户中活跃用户的人数为
，求的分布列和数学期望．
（3）该读书APP还统计了2018年4个季度的用户使用时长y（单位：百万小时），发现y与季度（
）线性相关，得到回归直线为
，已知这4个季度的用户平均使用时长为12.3百万小时，试以此回归方程估计2019年第一季度（
）该读书APP用户使用时长约为多少百万小时．
附：
，其中
．
| 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
