Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足且，点为的中点，点为边上的动点，且.

（1）求证：平面平面；

（2）是否存在实数，使得二面角的余弦值为？若存在，试求出实数的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）或.

【解析】

试题（1）取的中点，连接，先证明四边形为平行四边形，再证明平面，进而可得平面平面；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，结合平面一个法向量为，利用空间向量夹角的余弦公式列出关于的方程即可求解.

试题解析：（1）取的中点，连接，

∵是的中点，是的中点，∴．

又∵，∴，∴四边形为平行四边形．

∵，∴平面，∴，∴，

∵，∴，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（2）存在符合条件的，

以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，设，从而，则平面的一个法向量为，

又平面即为平面，其一个法向量为，

则，

解得或，故或．