Question

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)是椭圆C：＝1(a>b>0)上两点，已知m＝，n＝，若m·n＝0且椭圆的离心率e＝，短轴长为2，O为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

（1）＋x²＝1（2）是

(1)∵2b＝2，∴b＝1，∴e＝＝.
∴a＝2，c＝.故椭圆的方程为＋x²＝1.
(2)①当直线AB斜率不存在时，即x₁＝x₂，y₁＝－y₂，
由m·n＝0，得＝0⇒.
又A(x₁，y₁)在椭圆上，所以＝1，∴|x₁|＝，|y₁|＝，S＝|x₁||y₁－y₂|＝1＝|x₁|·2|y₁|＝1.
②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋b(其中b≠0)，代入＋x²＝1，得
(k²＋4)x²＋2kbx＋b²－4＝0.
有Δ＝(2kb)²－4(k²＋4)(b²－4)＝16(k²－b²＋4)>0，x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，由已知m·n＝0得x₁x₂＋＝0?x₁x₂＋＝0，代入整理得2b²－k²＝4，代入Δ中可得b²>0满足题意，
∴S＝|AB|＝|b| ＝＝＝1.所以△ABC的面积为定值．