Question

曲线是平面内与定点和定直线的距离的积等于的点的轨迹.给出下列四个结论：
①曲线过坐标原点；
②曲线关于轴对称；
③曲线与轴有个交点；
④若点在曲线上，则的最小值为.
其中，所有正确结论的序号是___________．

Answer 1

①②④

试题分析：设曲线上任意一点，则依题意可得，将原点代入验证，方程成立，说明曲线过坐标原点，故①正确；把方程中的x不变，y被-y 代换，方程不变，说明曲线关于轴对称，故②正确；将代入方程可得，即方程只有一个根，所以③不正确；定点和定直线可看做是抛物线的焦点和准线，设点是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义可知点到焦点和准线的距离相等，要使的最小值画图分析可知点应在抛物线的内侧且，当点在上时取得最小值，此时，点到直线的距离为，所以，解得，此时。故④正确。综上可得正确的是①②④。