Question

4．已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令${b_n}={a_n}•{3^n}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用错位相减法与等比数列的求和公式即可的．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
∴3×2+3d=12，解得d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）${b_n}={a_n}•{3^n}$=2n•3ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2（3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ）．
3T_n=2[3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹]，
∴-2T_n=2（3+3²+…+3ⁿ）-2×n•3ⁿ⁺¹=2×$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-2×n•3ⁿ⁺¹，
化为：T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n+1}+3}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．