Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若函数g（x）＝f（x）﹣lnx有2个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）求导得到，讨论四种情况得到单调性.

（2）g（x）＝alnxx﹣1，，得到x1+x2＝a，x1x2＝a，f（x1）+f（x2）﹣2x1x2＝alna+lna﹣2a﹣2，设g（a）＝alna+lna﹣2a﹣2，（a＞4），根据函数的单调性得到答案.

（1），x＞0，

（i）若a＝1，0恒成立，故f（x）在（0，+∞）单调递减，

（ii）当a＞1时，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（1，a），f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（a，+∞），f′（x）＜0，函数单调递减，

（iii）0＜a＜1时，x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（a，1），f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（1，+∞），f′（x）＜0，函数单调递减，

（iv）当a≤0时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（1，+∞），f′（x）＜0，函数单调递减.

（2）g（x）＝f（x）﹣lnx＝alnxx﹣1，，

由题意可得，x2﹣ax+a＝0与2个不同的根x1，x2（x1＜x2），

则x1+x2＝a＞0，x1x2＝a，△＝a2﹣4a＞0，所以a＞4，

∴f（x1）+f（x2）﹣2x1x2＝a（lnx1+lnx2）+a（）+（lnx1+lnx2）﹣（x1+x2）﹣2﹣2x1x2＝alna+lna﹣2a﹣2，

令g（a）＝alna+lna﹣2a﹣2，（a＞4），

则2＝lna1＞0，即g（a）在（4，+∞）上单调递增，

所以g（a）＞g（4）＝5ln4﹣10＝5（ln4﹣2）＝5（ln4﹣lne2）＝5.得证.