Question

【题目】已知函数f（x）＝x|x﹣a|，a∈R.

（1）当f（2）+f（﹣2）＞4时，求a的取值范围；

（2）若a＞0，x，y∈（﹣∞，a]，不等式f（x）≤|y+3|+|y﹣a|恒成立，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（﹣∞，﹣1）（2）0＜a≤6

【解析】

（1）化简不等式得到，利用零点分段法求得不等式的解集，也即求得的取值范围.

（2）将不等式恒成立，转化为.求得的最大值以及的最小值，由此列不等式，解不等式求得的取值范围.

（1）f（2）+f（﹣2）＞4，可得2|2﹣a|﹣2|2+a|＞4，即|a﹣2|﹣|a+2|＞2，

则或或，

解得a≤﹣2或﹣2＜a＜﹣1或a∈，则a的范围是（﹣∞，﹣1）；

（2）f（x）≤|y+3|+|y﹣a|恒成立，等价为f（x）max≤（|y+3|+|y﹣a|）min，

其中当x，y∈（﹣∞，a]，|y+3|+|y﹣a|≥|y+3+a﹣y|＝|a+3|＝a+3，当且仅当﹣3≤y≤a取得等号，

而f（x）＝﹣x（x﹣a）＝﹣（x）2，当且仅当xa时取得等号.

所以a+3，解得0＜a≤6.