Question

14．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{2^{-x}}+1\\ f（{x-1}）\end{array}\right.$$\begin{array}{l}{x≤0}\\{x＞0}\end{array}$，则下列命题中：
（1）函数f（x）为周期函数；
（2）函数f（x）在区间（m，m+1）（m∈N）上单调递增；
（3）函数f（x）在x=m-1（m∈N）取到最大值0，且无最小值；
（4）若方程f（x）=log_a（x+2）（0＜a＜1）有且只有两个不同的实根，则$a∈[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}）$．
正确的命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 作出f（x）的图象，由图象对各选项进行判断即可．x≤0时，$y=-{2}^{-x}+1=-（\frac{1}{2}）^{x}+1$，可由$y=（\frac{1}{2}）^{x}$的图象作关于x轴的对称图象，再向上平移一个单位得到．

解答 解：f（x）的图象如图所示：
（1）∵f（-1）=-1≠f（0）=0，故（1）不正确；
（2）由图可知（2）正确；
（3）∵m=0时，f（m-1）=f（-1）=-1，不是最大值，故（3）不正确；
（4）如图（2）所示，图中两条曲线对应的a分别为$\frac{1}{3}$和$\frac{1}{2}$，故方程f（x）=log_a（x+2）（0＜a＜1），有且只有两个实根，则a∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$），故（4）正确．
∴正确命题的个数是2个．
故选：B．

点评 本题考查分段函数的性质、方程的根等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力，是中档题．