Question

4．已知函数f（x）=（x+1）1n（x+1），g（x）=$\frac{a}{2}$（x²-2x）．
（1）函数h（x）=f（e^x-1）+g′（e^x），x∈[-1，2]．求函数h（x）的最小值；
（2）对任意x∈[2，+∞），都有f（x-2）+g（x）≤0．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得h（x）的导数，对a讨论，分①当a+1≥1，②当-2＜a+1＜1，③当a+1≤-2，由导数符号，判断单调性可得最小值；
（2）由题意得，f（x-2）+g（x）≤0即为（x-1）ln（x-1）+$\frac{a}{2}$（x²-2x）≤0，可令t=x-1（t≥1），即有tlnt+$\frac{a}{2}$（t²-1）≤0，设m（t）=tlnt+$\frac{a}{2}$（t²-1），当m（t）在t≥1上递减，不等式恒成立，符合题意．运用参数分离和导数，求得单调性，即可得到a的范围．

解答 解：（1）∵g（x）=$\frac{a}{2}$（x²-2x），
∴g′（x）=ax-a，
故h（x）=f（e^x-1）+g′（e^x）
=e^xlne^x+a（e^x-1）
=xe^x+a（e^x-1），
h′（x）=xe^x+e^x+ae^x=e^x（x+a+1），
①当a+1≥1，即a≥0时，h′（x）≥0，
故函数h（x）在[-1，2]上是增函数，
故h_min（x）=h（-1）=$\frac{a-1}{e}$-a；
②当-2＜a+1＜1，即-3＜a＜0时，
函数h（x）在[-1，-a-1]上是减函数，在[-a-1，2]上是增函数，
故h_min（x）=h（-a-1）=-e^-a-1-a；
③当a+1≤-2，即a≤-3时，
函数h（x）在[-1，2]上是减函数，
故h_min（x）=h（2）=e²（2+a）-a．
（2）由题意得，f（x-2）+g（x）≤0即为（x-1）ln（x-1）+$\frac{a}{2}$（x²-2x）≤0，
由x≥2，可令t=x-1（t≥1），
即有tlnt+$\frac{a}{2}$（t²-1）≤0，设m（t）=tlnt+$\frac{a}{2}$（t²-1），
则m（1）=0，当m（t）在t≥1上递减，不等式恒成立，符合题意．
由m′（t）=1+lnt+at≤0在t≥1上恒成立，
即为-a≥$\frac{1+lnt}{t}$的最大值，由n（t）=$\frac{1+lnt}{t}$的导数为$\frac{-lnt}{{t}^{2}}$≤0，
即有n（t）在t≥1递减，即有t=1取得最大值n（1）=1，
则有-a≥1，解得a≤-1．
即有实数a的取值范围是（-∞，-1]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造函数，判断单调性和分类讨论的思想方法，属于中档题．