Question

如图，在轴上方有一段曲线弧，其端点、在轴上（但不属于），对上任一点及点，，满足：．直线，分别交直线于，两点．

（Ⅰ）求曲线弧的方程；
（Ⅱ）求的最小值（用表示）；

Answer 1

（I）.（II）.

试题分析：（I）由椭圆的定义，曲线是以，为焦点的半椭圆，
利用的关系，得到的方程为.
要特别注意有限制.
（II）设并代入椭圆方程得到，根据，，可以得到直线的方程，进一步令可得，的纵坐标分别，将用纵坐标表出，应用“基本不等式”，得到其最小值.
本解答即体现此类问题的一般解法“设而不求”，又反映数学知识的灵活应用.
试题解析：（I）由椭圆的定义，曲线是以，为焦点的半椭圆，
. 
∴的方程为.          4分
（注：不写区间“”扣1分）
（II）由（I）知，曲线的方程为，设，
则有，即 ①   
又，，从而直线的方程为
AP：；   BP：         6分
令得，的纵坐标分别为
；     .
∴②  将①代入②， 得.        8分
∴.
当且仅当，即时，取等号．
即的最小值是.        12分