题目内容

精英家教网在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E=EO．求异面直线DE与CD1所成角的余弦值．
分析：根据题意，建立如图所示空间直角坐标系，算出向量
DE
、
CD1
的坐标，利用空间向量的夹角公式算出
DE
、
CD1
所成角的余弦值，结合异面直线所成角的定义，即可得出异面直线DE与CD1所成角的余弦值．
解答：解：精英家教网设正方体的棱长为2，以DA、DC、DD1为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
可得D（0，0，0），E（
1
2
，
1
2
，1），C（0，2，0），
D1（0，0，2），
∴
DE
=（
1
2
，
1
2
，1），
CD1
=（0，-2，2），
可得cos＜
DE
，
CD1
＞=
DE
•
CD1
|DE|
•
CD1
=
1
2
×0+
1
2
×(-2)+1×2
1
4
+
1
4
+1
•
0+4+4
=
3
6
．
由异面直线DE与CD1所成角等于
DE
、
CD1
所成角，
可得异面直线DE与CD1所成角的余弦值等于
3
6
．
点评：本题在正方体中求异面直线所成角的大小，着重考查了正方体的性质、利用空间向量研究空间直线所成角等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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16、在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则
①四边形BFD′E一定是平行四边形；
②四边形BFD′E有可能是正方形；
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
以上结论正确的为
①③④
．（写出所有正确结论的编号）
如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E为D′C′的中点，则二面角E-AB-C的大小为
45°
45°
．
如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别是AB′，BC′的中点． 
（1）若M为BB′的中点，证明：平面EMF∥平面ABCD．
（2）求异面直线EF与AD′所成的角．
如图在正方体ABCD-A  1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂足，则B1H与平面AD1C的位置关系是（　　）
在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交棱AA′于E，交棱CC′于F，则：
①四边形BFD′E一定是平行四边形；
②四边形BFD′E有可能是正方形；
③四边形BFD′E有可能是菱形；
④四边形BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
其中所有正确结论的序号是
 
．

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