Question

8．已知θ∈[0，2π]，而sinθ、cosθ是方程x²-kx+k+1=0的两实数根，求k和θ的值．

Answer 1

分析 根据题意和韦达定理列出方程组，由平方关系化简联立列方程，求出k的值，最后要验证三角函数值的范围，由已知利用正弦函数、余弦函数的图象，特殊角的三角函数值可求θ的值．

解答 解：∵sinθ，cosθ是方程x²-kx+k+1=0的两根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinθ+cosθ=k}&{①}\\{sinθcosθ=k+1}&{②}\end{array}\right.$
①平方得，1+2sinθcosθ=k²，将②代入得，
k²-2k-3=0，解得k=3或-1，
当k=3时，sinθcosθ=4，这与sinθcosθ＜1矛盾，故舍去，
当k=-1时，经验证符合条件．
则k的值为-1，可得：sinθ+cosθ=-1，且sinθcosθ=0，
∴当sinθ=0时，cosθ=-1，由θ∈[0，2π]，可得θ=π；
当cosθ=0时，sinθ=-1，由θ∈[0，2π]，可得θ=$\frac{3π}{2}$；

点评 本题考查了韦达定理（根与系数的关系），以及平方关系的灵活应用，主要验证三角函数值的范围，考查了分类讨论思想，属于中档题．