Question

19．S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a_n＞0，（a_n+1）²=4S_n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系可得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由a_n＞0，可得a_n-a_n-1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用“裂项求和方法”即可得出．

解答 解：（1）当n=1时，$a_1^2+2{a_1}+1=4{S_1}=4{a_1}$，即${（{a_1}-1）^2}=0$，∴a₁=1．
当n≥2时，${（{a_n}+1）^2}-{（{a_{n-1}}+1）^2}=4{S_n}-4{S_{n-1}}=4{a_n}$，
整理得：$a_n^2-a_{n-1}^2-2{a_n}-2{a_{n-1}}=0$，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，
∴a_n=2n-1．
（2）由（1）知，b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}前n项和为：b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]=\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、“裂项求和方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．