Question

6．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x（1+mx），x≥0\\ x（1-mx），x＜0\end{array}\right.$，若关于x的不等式f（x）＞f（x+m）的解集为M，且[-1，1]⊆M，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [-1，0]
• B． $（-1，1-\sqrt{2}）$
• C． $（1-\sqrt{2}，0）$
• D． $（1+\sqrt{2}，+∞）$

Answer 1

分析 由题意可得，当m=0，显然不满足条件；在[-1，1]上，函数y=f（x-m）的图象应在函数y=f（x）的图象的下方，

解答 解：∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x（1+mx），x≥0\\ x（1-mx），x＜0\end{array}\right.$，若①若m=0，则不等式即f（x）＞f（x ），显然不成立．
②若m＞0，函数f（x）在R上是增函数，如右图所示：
由f（x）＞f（x+m），可得x＞x+m，m＜0，故m无解．
③若m＜0，函数y=f（x+m）的图象是把函数y=f（x）的图象向右平移-m个单位得到的，
由题意可得，当x∈[-1，1]时，函数y=f（x+m）的图象在函数 y=f（x）的图象的下方，
如下图所示：

只要f（-1+m）＜f（-1）即可，即（-1+m）[1-m（-1+m）]＜-1•（1+m），
即 m+2m²-m³＜0，即 1+2m-m²＞0，求得1-$\sqrt{2}$＜m＜1+$\sqrt{2}$，
综合可得，1-$\sqrt{2}$＜m＜0，
故选：C．

点评 本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，属于中档题．