题目内容
14．正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1，E为A1B1 的中点，则下列四个命题：①点E到平面ABC1D1 的距离为$\frac{1}{2}$；
②直线BC与平面ABC1D1 所成的角等于45°
③空间四边形ABCD1 在正方体六个面内形成六个射影，其面积最小值是$\frac{1}{2}$
④AE与DC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$
其中真命题的个数是（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
分析 在①中，E到面ABC1D1的距离等于B1到面ABC1D1的距离为$\frac{1}{2}$B1C；在②中，BC与面ABC1D1所成的角即为∠CBC1；在③中，在四个面上的投影或为正方形或为三角形．最小为三角形；在④中，∠EAB是AE与DC所成角．
解答 解：在①中，E∈A1B1，A1B1∥面ABC1D1，
∴E到面ABC1D1的距离等于B1到面ABC1D1的距离为$\frac{1}{2}$B1C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．故①错误；
在②中，BC与面ABC1D1所成的角即为∠CBC1=45°，故②正确；
在③中，在四个面上的投影或为正方形或为三角形．最小为三角形，面积为$\frac{1}{2}$，故③正确；
在④中，∵DC∥AB，∴∠EAB是AE与DC所成角，
取AB中点F，连结EF，则AF=$\frac{1}{2}$，AE=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴cos∠EAB=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．故④正确．
故选：C．
点评 本题考查命题的真假判断，考查正方体结构特征、点到平面的距离、线面角、投影面积、异面直线所成角等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．
练习册系列答案
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
相关题目
5．已知函数y=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为$\frac{π}{2}$，直线$x=\frac{π}{3}$是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（ ）
| A． | $y=4sin（4x+\frac{π}{6}）$ | B． | $y=2sin（2x+\frac{π}{3}）+2$ | C． | $y=2sin（4x+\frac{π}{3}）+2$ | D． | $y=2sin（4x+\frac{π}{6}）+2$ |
如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（-1）=2．