Question

19．用数学归纳法证明$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≥$\frac{n}{2}$（n∈N^*），从“n=k（k∈N^*）”到“n=k+1”时，左边需增加的代数式为（　　）

• A． $\frac{1}{{2}^{k}+1}$
• B． $\frac{1}{{2}^{k+1}}$
• C． $\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
• D． $\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$

Answer 1

分析 求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．

解答 解：当n=k时，左边的代数式为$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{K}}$
 当n=k+1时，左边的代数式为$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{K}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，
故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，
故选：C．

点评 本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化．