题目内容
19．已知tan（$\frac{π}{6}$-α）=-2，α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，则sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$+$\sqrt{3}$cos2$\frac{α}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=（ ）| A． | -$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ | B． | -$\frac{\sqrt{5}}{5}$ | C． | $\frac{\sqrt{5}}{5}$ | D． | $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ |
分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+$\frac{π}{3}$）和sin（α+$\frac{π}{3}$）的值，在利用三角恒等变换化简要求的式子为 sin（α+$\frac{π}{3}$），从而得出结论．
解答 解：∵tan（$\frac{π}{6}$-α）=cot（$\frac{π}{3}$+α）=$\frac{cos（α+\frac{π}{3}）}{sin（α+\frac{π}{3}）}$=-2，α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴α+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$，π]．
再结合${sin}^{2}（α+\frac{π}{3}）$+${cos}^{2}（α+\frac{π}{3}$）=1，∴cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
则sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$+$\sqrt{3}$cos2$\frac{α}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα=sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故选：C．
点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，属于中档题．
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