题目内容
3.已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图象关于直线x=2 对称.(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)若函数f(x)无极值,求c的取值范围.
分析 (I)f′(x)=3x2-2bx+2c,由于导函数f′(x)的图象关于直线x=2 对称,利用二次函数的对称性可得$\frac{b}{3}$=2,解得b即可.
(II)由(I)可知:f′(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,当2c-12≥0,f′(x)≥0,此时函数f(x)无极值,解出即可.
解答 解:(I)f′(x)=3x2-2bx+2c,
∵导函数f′(x)的图象关于直线x=2 对称,
∴$\frac{b}{3}$=2,解得b=6.
(II)由(I)可知:f(x)=x3-6x2+2cx,
f′(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,
当2c-12≥0,即c≥6时,f′(x)≥0,此时函数f(x)无极值.
点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、二次函数的对称性,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
练习册系列答案
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