Question

选修4-1：几何证明选讲
如图所示，AB与CD是⊙o的两条互相垂直的直径，P是AB延长线上一点，连接PC交⊙o于点E，连接DE交AB于点F，证明：PO•PF=PB•PA．

Answer 1

【答案】分析：先根据条件得到△PFE∽△PCO；进而得到PE•PC=PF•PO；再结合割线定理即可得到结论．
解答：证明：因为：AB与CD是⊙o的两条互相垂直的直径，
∴∠DFO+∠ODF=∠DCE+∠EDC
∴∠DFO=∠DCE；
∵∠DFO=∠PFE；
∴∠DCE=∠PFE，∠FPE=∠CPO；
∴△PFE∽△PCO
∴⇒PE•PC=PF•PO；
又有割线定理得：PB•PA=PE•PC；
∴PO•PF=PB•PA．
点评：本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及割线性质的应用．属于基础题．