Question

【题目】如图，在多面体中，，，，四边形是矩形，平面平面，.

（1）证明：平面；

（2）若二面角的正弦值为，求的值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析. (2) 或.

【解析】

(1) 取的中点,连接，可得，再推导出，从而得证.
(2) 由题目条件和（1）可知两两垂直, 以分别为 轴，建立空间直角坐标系,利用向量法，求出的值.

(1)取的中点,连接.

由，，.

则为正方形.所以.

又平面平面，且平面平面.

平面,所以平面.

又平面.则.

又四边形是矩形，则,且.

∴平面.

(2)由题目条件和（1）可知两两垂直.

故以点为原点，以分别为 轴，建立空间直角坐标系.如图.

设，则.

所以，,,,.

则,,.

设平面的一个法向量为.

所，即

取

设平面的一个法向量为.

所以，即

取

二面角的正弦值为，则余弦值为.

即 ，解得：或

所以或.