Question

如图，已知⊙C过焦点A（0，P）（P＞0）圆心C在抛物线x²=2py上运动，若MN为⊙C在x轴上截得的弦，设|AM|=l₁，|AN|=l₂，∠MAN=θ
（1）当C运动时，|MN|是否变化？证明你的结论．
（2）求的最大值，并求出取最大值时θ值及此时⊙C方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设出圆的方程，求出M，N两点的坐标表示出|MN|即可发现|MN|的取值是否变化．
（2）由（1）可设M（x-p，0）、M（x+p，0），先利用两点间的距离公式求出 l₁，l₂，，代入 整理为关于p的函数，结合基本不等式求出其最大值和此时圆C的方程即可．
解答：解：（1）设C（x₁，y₁），⊙C方程为（x-x₁）²+（y-y₁）²=|AC|²
∴（x-x₁）²+（y-y₁）²=x₁²+（y₁-P）²与y=0联立
得x²-2x₁x+2y₁p-p²=0…（2分）
∴
∵C（x₁，y₁）在抛物线上
∴x₁²=2py₁，代入|MN|
得为定值
∴|MN|不变
（2）由（1）可设M（x-p，0）、M（x+p，0），
，
∴
=
当且仅当y=p时取等号，即
∴圆方程为
当时，∠MAN为AM到AN的角
∴
∴∠θ=45°
同理，时，∠MAN为AN到AM的角仍可得∠θ=45°
点评：本题是对圆与抛物线以及基本不等式，距离公式等知识的综合考查，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．