Question

如图，已知⊙C过焦点A（0，P）（P＞0）圆心C在抛物线x²=2py上运动，若MN为⊙C在x轴上截得的弦，设|AM|=l₁，|AN|=l₂，∠MAN=θ
（1）当C运动时，|MN|是否变化？证明你的结论．
（2）求

l2

l1

+

l1

l2

的最大值，并求出取最大值时θ值及此时⊙C方程．

Answer 1

分析：（1）先设出圆的方程，求出M，N两点的坐标表示出|MN|即可发现|MN|的取值是否变化．
（2）由（1）可设M（x-p，0）、M（x+p，0），先利用两点间的距离公式求出 l₁，l₂，，代入

l1

l2

+

l2

l1

整理为关于p的函数，结合基本不等式求出其最大值和此时圆C的方程即可．

解答：解：（1）设C（x₁，y₁），⊙C方程为（x-x₁）²+（y-y₁）²=|AC|²
∴（x-x₁）²+（y-y₁）²=x₁²+（y₁-P）²与y=0联立
得x²-2x₁x+2y₁p-p²=0…（2分）
∴|MN|=

(2 x   1 ) 2   -4(2 y   1 p- p 2   )

=

4 x 2 1 -8 y   1 p+4 p 2

∵C（x₁，y₁）在抛物线上
∴x₁²=2py₁，代入|MN|
得|MN|=

4p2

=2p为定值
∴|MN|不变
（2）由（1）可设M（x-p，0）、M（x+p，0），

l

1

=

(x-p ) 2   + p 2

，

l

2

=

(x+p ) 2   + p 2

∴

l   2

l   1

+

l   1

l   2

=

l 2 1 + l 2 2

l   1 l   2

=

2 x 2   +4 p 2

(x-p ) 2   + p 2   • (x+p ) 2   + p 2

=

2 x 2   +4 p 2

x 4   +4 p 2

=

4py+4 p 2

4 p 2   y 2   +4 p 2

=2•

y+p

y 2   + p 2

=2

1+ 2yp y 2   + p 2

=2

1+ 2p p 2   y +y

≤2

2

当且仅当y=p时取等号，即x=±

2

p
∴圆方程为(x±

2

p)2+(y-p)2=2p2
当x=

2

p时，∠MAN为AM到AN的角KAM=

p

p-x

KAN=

p

-(x-p)

∴tan∠MAN=

KAN-KAM

1+KAN•KAM

=1
∴∠θ=45°
同理，x=-

2

p时，∠MAN为AN到AM的角仍可得∠θ=45°

点评：本题是对圆与抛物线以及基本不等式，距离公式等知识的综合考查，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．