Question

【题目】设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”.

（1）若数列是“紧密数列”，且，，，，求的取值范围；

（2）若为等差数列，首项，公差，且，判断是否为“紧密数列”，并说明理由；

（3）设数列是公比为的等比数列，若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）是“紧密数列”，详见解析（3）

【解析】

(1)由 ，可求出的取值范围;

(2)由,所以

,根据“紧密数列”的定义即可得到结论;

(3)根据”是紧密函数”可得,再对分 三种情况套,结合“紧密数列”的定义可得.

（1）由题意得：，，解得.

所以的取值范围是.

（2）由题意得,所以

,

因为随着的增大而减小,所以时,取得最大值,所以 ,

所以是“紧密数列”.

（3）由数列是公比为的等比数列，得，

因为是“紧密数列”，所以.

①当时，，，因为，所以时，数列为“紧密数列”，故满足题意.

②当时，，则，因为数列为“紧密数列”，

所以，对任意恒成立.

（i）当时，，

即，对任意恒成立.

因为,所以，，，

所以，，

所以，当时，，对任意恒成立.

（ii）当时，，即，对任意恒成立.

所以当时,有成立,即,所以 且,

所以,这与相矛盾,此时不存在.

综上所述，的取值范围是.