Question

【题目】如图，已知椭圆的左、右焦点分别为、，以线段为直径的圆与椭圆交于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过轴正半轴上一点作斜率为的直线.

①若与圆和椭圆都相切，求实数的值；

②直线在轴左侧交圆于、两点，与椭圆交于点、（从上到下依次为、、、），且，求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②的最大值为3

【解析】

（1）线段为直径的圆与椭圆交于点，可以得圆的方程及，将点代入椭圆方程得，又因为，就可解出，，进而得出椭圆方程．

（2）①设直线 的方程为：，即，因为与圆和椭圆相切，得，△，解得，，．

②取中点，连接，则，又，所以点为中点，写出点坐标，进而得坐标，代入椭圆方程化简得，，设，最后再求则 最值．

解：（1）设椭圆的焦距为

因为线段为直径的圆与椭圆交于点

所以

又点在椭圆上

所以，解得

所以椭圆的方程为

（2）①因为直线与圆相切，所以，即（ⅰ）

由，消去得

因为直线与椭圆相切，

所以即（ⅱ）

联立（i）（ⅱ）得负值舍去

②取中点，连结，则，

又，所以为中点

由，解得

所以

代入椭圆方程化简得

设

则，当时，取最大值3，此时.

又，时，，，，，

符合题意，故的最大值为3.