Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

（a＞0，b＞0）的离心率e=2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k₁，k₂．若直线AB过原点，则k₁•k₂的值为（　　）

• A．2
• B．3
• C．

  3

• D．

  6

Answer 1

分析：设出M、N、P，表示出k₁•k₂，M、N、P代入双曲线方程并化简，代入双曲线的离心率乘积，求出k₁•k₂的值．

解答：解：因为过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k₁，k₂．若直线AB过原点，
所以A、B关于原点对称，
设M（p，q），N（-p，-q），P（s，t），
则有k₁•k₂=

t-q

s-p

•

t+q

s+p

=

t2-q2

s2-p2

，

p2

a2

-

q2

b2

=1，

s2

a2

-

t2

b2

=1，
两式相等得：

p2

a2

-

q2

b2

=

s2

a2

-

t2

b2

，
即

t2-q2

b2

=

s2-p2

a2

，

t2-q2

s2-p2

=

b2

a2

，
k₁•k₂=

t2-q2

s2-p2

=

b2

a2

=

c2-a2

a2

=2²-1=3．
故选B．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，考查转化思想，化简得到 K₁•K₂是解题的关键．