Question

过点（

2

，0）引直线l与曲线y=

1+x2

相交于A，B两点，则直线l斜率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：设直线方程为y=k（x-

2

），曲线y=

1+x2

即y²-x²=1，是焦点在y轴的双曲线的上支，其渐近线方程为y=±x，联立直线与曲线方程，判别式大于0，由此能求出k的取值范围．

解答： 解：设直线方程为y=k（x-

2

），
曲线y=

1+x2

即y²-x²=1是焦点在y轴的双曲线的上支，
∵渐近线方程为y=±x，
∴-1＜k＜1．①
联立

y=k(x- 2 ) y= 1+x2

，得（k²-1）x²-2

2

k2x+2k²-1=0，
∵直线l与曲线y=

1+x2

相交于A，B两点，
∴

k2-1≠0 (-2 2 k2)-4(k2-1)(2k2-1)＞0

，
解得k＞

3

3

或k＜-

3

3

．②
又∵y=

1+x2

＞0，直线l与曲线y=

1+x2

相交于A，B两点，
∴k＜0，③
由①②③，得-1＜k＜-

3

3

．
故答案为：（-1，-

3

3

）．

点评：本题考查直线l斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．